Arbeitsblatt zu den Pyramiden

Eine andere Gruppe von Körpern bilden die Pyramiden. Sicher kennt jeder bereits die Pyramiden der Ägypter bei Gizeh:

http://www.travelinfo.de/kreuzfahrten.asp?ReiseID=1815

Andere Pyramiden, wie z. B. der Tetraeder, sind eher unbekannt. Allgemein muss man also Pyramiden folgendermaßen definieren:

Definition: Als Pyramiden bezeichnen wir Körper, deren Grundfläche ein n-Eck (Poligon) ist und deren Mantelfläche aus n Dreiecken gebildet wird.

Versuche nun, die abgebildeten Pyramiden genauer zu beschreiben!


(Wenn du Zweifel bei der Grammatik hast, schau in den Duden!) 
Bei dieser Pyramide - einem Tetraeder - sind alle Flächen kongruent. Form der Gundfläche:

Anzahl der Dreiecke in der Mantelfläche:
Diese Pyramide wäre in etwa das Vorbild für die Pyramiden von Gizeh gewesen! Form der Gundfläche:

Anzahl der Dreiecke in der Mantelfläche:
Auch das ist eine regelmäßige, gerade Pyramide! Form der Gundfläche:

Anzahl der Dreiecke in der Mantelfläche:


Der Oberflächeninhalt von Pyramiden

Der Oberflächeninhalt der Pyramiden ist eigentlich noch einfacher zu berechnen,
als der der Prismen - denn es fehlt ja der Deckel! Dafür besteht die Mantelfläche
aber aus n Dreiecken, deren Berechnung schon etwas aufwändiger ist. Aber mit
den Hilfsmitteln der Trigonometrie und dem Pythagoras geht es dann doch!

Oberflächeninhalt von Pyramiden: Ao = Ag + AM


Das Volumen von Prismen

Das Volumen von Prismen ist dagegen etwas komplizierter zu bestimmen.
Ausgehen von der Volumenformel für PrismenV = Ag h stellen wir
fest, dass auch für Pyramiden die Grundfläche und die Höhe mitbestimmend
für das Volumen sein müssen - aber das reicht nicht aus, denn offensichtlich
ist das Volumen einer Pyramide doch wesentlich kleiner als das Volumen eines
Prismas mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe!


Sechsecksprisma Sechseckspyramide
quadratisches Prisma quadratische Pyramide
Folglich benötigt man noch einen geeigneten Faktor,
um das Pyramidenvolumen berechnen zu können!

An dieser Stelle brauchen wir den Satz von Cavalieri!

Mit Hilfe dieses Satzes kann gezeigt werden, dass schräge
Pyramiden das gleiche Volumen besitzen wie gerade Pyramiden.

Wenn das klar ist, dann kann ganz leicht gezeigt werden, wie
groß der Faktor für das Pyramidenvolumen sein muss:

Animation als Gif (175 Frames 320 X 240 Pixel - 320kb)
oder als divX-Video (bessere Qualität und 640 X 480 Pixel - 968kb)
oder am Besten als VRML-Datei (Ganzbildschirm, interaktiv - 3kb)!!!

Wie man deutlich sieht, passen genau drei Pyramiden in ein Prisma.
Daraus folgt, dass das Volumen einer Pyramide genau ein Drittel
des Volumens eines "gleichgroßen" Prismas beträgt!