Einführung in die Vektorrechnung

Der Begriff Vektor ist ja bereits aus dem Physikunterricht bekannt - Zur Erinnerung: Kräfte, Geschwindigkeiten oder Beschleunigungen waren vektorielle Größen, da sie nur durch die Angabe von Betrag, Richtung und Anfangspunkt genau beschrieben werden konnten (Skizzen).

Addition von Kräften (anklicken zum Vergrössern)vvvvvvGeschwindigkeitskomponenten ermitteln

Andere Größen, wie z. B. die Masse oder die Temperatur, sind skalare Größen. Das bedeutet, daß die Angabe des Betrages (natürlich immer mit der entsprechenden Einheit!) ausreicht, um sie genau zu beschreiben.

In der Mathematik ist der Vektor vom Prinzip her das Gleiche wie in der Physik. Größen, die durch die Angabe von Betrag, Richtung und Anfangspunkt bestimmt werden müssen, sind Vektoren. Zur Kennzeichnung verwenden wir Pfeile:

Länge des Pfeils - Betrag des Vektors,
Richtung des Pfeils - Richtung des Vektors,
Anfangspunkt des Pfeils - Anfangspunkt des Vektors.

Das sieht in verschiedenen Mathematikprogrammen dann so aus:

Geometrie für die Sekundarstufe

Analytische Geometrie

Um einen Vektor sofort von einer anderen Größe unterscheiden zu können verwendet man zur Bezeichnung entweder altdeutsch Buchstaben oder Buchstaben mit einem Pfeil darüber:

altdeutsche Buchstaben und Vektorschreibweise

Wenn Vektoren im dreidimensionalen Raum liegen, werden sie durch drei Koordinatenangaben gekennzeichnet. Jeder Vektor hat eine x-Koordinate, eine y- Koordinate und eine z-Koordinate. Diese werden durch Klammern zusammengefaßt, aber (anders als bei Punkten) nicht nebeneinander sondern übereinander. Das sieht dann z. B. so aus:

Beispiel für einen Vektor a


Im Beispiel ist der Vektor hellblau dargestellt. Wenn man auf START klickt werden die Koordinaten angezeigt. Zur besseren Veranschaulichung sind diese als Seiten eines Quaders dargestellt, der den Vektor als Raumdiagonale hat! Das Koordinatensystem ist frei beweglich, d.h. mit Hilfe der Konsole darunter kann man das System rotieren lassen, zoomen und ähnliches mehr, um sich einen räumlichen Eindruck davon zu verschaffen:

Da der Vektor für den dargestellten Quader eine Raumdiagonale bildet, ist der Betrag des Vektors gleich der Länge der Raumdiagonalen, also:

Für unseren Beispielvektor bedeutet dies folgendes:
Damit hat der Vektor a den Betrag 9,7. Und damit ist das erste Kapitel Vektorrechnung schon erledigt. Versuche nun, die Übungsaufgaben zu diesem ersten Thema zu lösen.
 
 

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