Die Bestimmung des Erdradius nach Eratosthenes
Wer war Eratosthenes?

Eratosthenes wurde um 276 v. Chr. in Kyrene (heute Schahhad, Libyen) geboren. Er starb ca. 195 v. Chr. in Alexandria (Alexandria wird in der rechten der beiden Karten mit 'A' bezeichnet.).
Eratosthenes war Schüler des Kallimachos, ein Freund des Archimedes und selbst einer der größten Wissenschaftler seiner Zeit. Unter anderem beschäftigte er sich mit Geographie, Astronomie und Mathematik. Er entwarf eine Erdkarte mit Hilfe eines Koordinatennetzes von Parallelkreisen und Meridianen, stellte einen Sternenkatalog mit 675 Sternen auf und erfand ein Verfahren zum Auffinden von Primzahlen: das 'Sieb des Eratosthenes'. Zudem wird Eratosthenes als Begründer der Chrononologie und der wissenschaftlichen Geographie angesehen. Und er leitete die berühmte Bibliothek von Alexandria1) Meyers großes Taschenlexikon, Großes Lexikon der Astronomie von Joachim Herrmann (Mosaik-Verlag). 

Keine der mir vorliegenden Quellen zeigt, ob Eratosthenes den Winkel Gamma nach einer Messung der Schattenlänge der Säule berechnet oder ob er den Winkel Alpha gemessen hat. Jedenfalls wusste er, dass der Mittelpunktswinkel Beta die gleiche Größe wie Gamma (Gamma und Beta sind Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen, den Sonnenstrahlen) bzw. Alpha (Alpha und Beta sind Stufenwinkel an geschnittenenen Parallelen, den Sonnenstrahlen) haben musste.
Eratosthenes bestimmte also Alpha (oder Gamma) mit ca. 1/ 50 eines Vollwinkels. Beta musste deshalb ebenfalls 1/ 50 von 360° ausmachen. Also musste die Länge der 'Strecke' AS von Alexandria nach Syene ca. 50-mal in den gesuchten Erdumfang hineinpassen. Zur ungefähren Bestimmung des Erdumfangs fehlte Eratosthenes also nur noch diese Entfernung von Alexandria nach Syene.
Man liest, Eratosthenes solle einen Freund gebeten haben, diese Entfernung zu bestimmen. Die Messung ergab, dass Syene 5 000 Stadien (1 Stadion entsprach 157,5 m) von Alexandria entfernt war. Der Erdumfang musste also nach Eratosthenes 50 * 5 000 Stadien = 250 000 Stadien bzw. 50 * (5000 * 157,5 m) = 39 375 000 m = 39 375 km lang sein. 
( Quelle: http://www.wernerpieper.de/schmath/erl_erat.htm)

Eigentlich beruht die Bestimmung des Erdradius nach Eratosthenes auf der Grundlage des Winkels der sich zwischen dem Lot der Säule in Syene und dem Lot des Brunnenes in Alexandria ergibt. Für uns jedoch ist dieser Winkel uninteressant, da wir das Problem mit Hilfe des Strahlensatzes lösen wollen. Also überlegen wir folgendermassen:



Mit den beiden Knöpfen Vorwärts und Rückwärts kannst du zwischen den verschiedenen Bildern hin- und herschalten.
Dabei sind A:
S:
H:
R:
 -der Abstand von Alexandria nach Syene
-die Schattenlänge
-die Höhe der Säule
-der Erdradius

Mit Hilfe der oberen Skizze können wir folgende Verhältnisgleichung formulieren:

 also: 
Die Messung ergab, dass Syene 5 000 Stadien (1 Stadion entsprach 157,5 m) von Alexandria entfernt war.
Die Höher der Säule geben wir mit 10m an und die Schattenlänge mit 1,23m.
Wenn wir jetzt die gegebenen Werte verwenden, dann ergibt sich für R folgende Gleichung:

Damit ist der Erdradius ( R=6378km ) bis auf ca. 25km genau berechnet worden!!!
 

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