Die Addition von Vektoren
 

Die Addition von Vektoren (kurz Vektoraddition genannt) kann man nicht nur in der Mathematik sondern auch in vielen anderen gut gebrauchen. Anwendungsbeispiele sind die Addition von Geschwindigkeiten oder Kräften, die ja vektorielle Größen darstellen.

Wenn wir nun zwei Vektoren (Ortsvektoren) gegeben haben und wir sollen die Summe bestimmen, dann verwenden wir folgende Schreibweisen:
 

(mit griechischen Buchstaben)
(mit Vektorpfeilen)
(mit griechischen Buchstaben)
(mit Vektorpfeilen)
 
Die eigentliche Addition führen wir durch, indem wir die Vektoren elementeweise addieren:
 
 
Einfacher sieht es natürlich aus, wenn wir Zahlen einsetzen:
 
Zwischenschritt
Endergebnis
 
Die graphische Veranschaulichung soll dir helfen, das Prinzip besser zu verstehen:

Der gelbe und der blaue Vektor sind die Summanden.
Der eine Summand (gelb) wird nun bis zur Spitze des zweiten Summanden (blau) verschoben.
Die Summe der Addition ist nun wieder ein Vektor (rot), nämlich der Ortsvektor,
der vom Beginn des ersten Summanden (Koordinaten-Ursprung) bis zur Spitze des zweiten Summanden geht!
Durch die Rotation des Koordinatensystems kann die räumliche Lage der Vektoren sehr gut beurteilt werden:
Summanden und Ergebnis liegen in einer Ebene!
 
  Kannst du nun den Ergebnisvektor in der unten stehenden Aufgabe berechnen?!

 
1
-2
3

 

 +
 
4
-5
-2

 

 =
 

 

Übungen zur Vektoraddition
Die Subtraktion von Vektoren
 

Die Subtraktion von Vektoren hängt dicht mit der Vektoraddition zusammen.Wie bei reellen Zahlen die Addition durch die Subtraktion ersetzt werden kann [ a - b = a + (-b) ] kann man auch bei den Vektoren die Subtraktion auf die Addition zurückführen. Nur, daß bei der Verwendung von Vektoren das Bilden des entgegengesetzten Vektors geringfügig komplizierter ist. Da man hier drei Koordinaten hat, muß man von allen drei Werten die entgegengesetzten Zahlen bilden:

 
 Daraus folgt:
 ... oder eben: 

Also können wir jetzt die Vektorsubtraktion so formulieren:

In einem konkreten Zahlenbeispiel würde das so aussehen:

So gesehen ist die Subtraktion von Vektoren also nicht schwieriger als die Vektoraddition. Allerdings ist die geometrische Veranschaulichung jetzt etwas aufwendiger. In der folgenden 3D-Darstellungen ist das jedoch trotzdem deutlich zu sehen:

Der dunkelblaue Vektor und der hellblaue Vektor sind die Operanden (Minuend und Subtrahend).
Zuererst wird der entgegengesetzte Vektor vom Minuend erzeugt.
Nun geht es weiter wie bei der Addition. Der entgegengestzte Vektor wird verschoben, bis er an die Spitze des zweiten Operators anliegt.
Der Ergebnisvektor - rot dargestellt - wird gebildet.

Durch die Rotation des Koordinatensystems kann die räumliche Lage der Vektoren sehr gut beurteilt werden - alle Vektoren liegen in einer Ebene!

  Kannst du nun den Ergebnisvektor in der unten stehenden Aufgabe berechnen?!


 
1
-2
3

 

 -
 
4
-5
-2

 

 =
 

 

Wenn du nun noch ein paar Übungen selbst rechnen möchtest, dann klicke jetzt die
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Übungen zur Vektorsubtraktion