Anwendung zur Vektorrechnung

Ein Problem welches sich häufig stellt, ist die Berechnung von Flächeninhalten im Raum:


Aufgabe: Gegeben seien drei Punkte im Raum. Gesucht ist die Fläche des Dreiecks, das durch
               diese Punkte gebildet wird! 

geg.:     P1 = ( 4, 5, 2)       ges.: Fläche des Dreiecks
            P2 = ( -2, 8, 5)
            P3 = ( -5, 3, -1) 

1. Lösungsschritt:    Wir betrachten dazu an Stelle der Punkte drei Vektoren (Ortsvektoren)! 

2. Lösungsschritt:    Anhand der Ortsvektoren bestimmen wir zuerst zwei Richtungsvektoren, die
                              das Dreieck aufspannen:

3. Lösungsschritt:    Der Betrag des Kreuzproduktes der Richtungsvektoren ist flächengleich zu
                              dem Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogrammes. Also muss dieser
                              berechnet und anschliessend halbiert werden!

Als Formel sieht das dann so aus: 

 

Die graphische Veranschaulichung soll dir helfen, das Prinzip besser zu verstehen:

Auf einer Ebene im Raum befinden sich drei Punkte. Mit der Maus kann die Lage dieser Punkte verändert werden! Es bildet sich ein Dreieck, dessen Flächeninhalt zusammen mit den Punktkoordinaten angezeigt wird:

Datei kann mit dem PlugIn BlaxxunContact angezeigt werden!
  Kannst du nun den Flächeninhalt aus der oben gestellten Aufgabe berechnen?


Ortsvektor
Punkt 2
-2
8
5

-
Ortsvektor
Punkt 1
4
5
2

=
erster
Richtungsvektor
Ortsvektor
Punkt 3
-5
3
-1

-
Ortsvektor
Punkt 1
4
5
2

=
zweiter
Richtungsvektor

Nun das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
............
.......

Nur noch mal zur Erinnerung ...

= + + - - -

* **

 
 .                                                                                                =



Der Betrag des Ergebnisvektors (auf 2 Dezimalstellen gerundet!) ist dann:

Und dieses wird dann halbiert! Der Flächeninhalt (auf 2 Dezimalstellen gerundet!) beträgt also:


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